Malmquist生产率指数
当数据为包含多个时期点观测值的面板数据时，可以对生产率变动情况及技术效率和技术进步各自对生产率变动所起的作用进行分析，这就是常用的Malmquist全要素生产率(total factor productivity, TFP)指数分析。Malmquist生产率指数的概念最早源于Malmquist (1953)，因此将这一类指数命名为Malmquist指数。Malmquist生产率指数用于分析两个时期生产率的变化(后一个时期与前一个时期生产率的比值)。
Färe R, et al. (1992)最早采用DEA的方法计算Malmquist指数，并将Malmquist指数分解为两个方面的变化：一是被评价DMU在两个时期内的技术效率的变化(technical efficiency change, EC)，二是生产技术的变化(technological change, TC)，在DEA分析中反映生产前沿的变动情况(frontier shift)。
MaxDEA允许非平衡面板数据，即允许某个或某些DMU在某个或某些时期的数据缺失，与缺失的数据相关的结果将保持空白。
目录
2.1 相邻两期交叉参比(两个TFP指数的几何平均): 由Färe等人(1992)提出的应用最广泛的Malmquist指数
2.2 相邻两期合并参比(单一TFP指数): Biennial Malmquist，由Pastor等人(2011)提出的一种相邻两个时期的数据合并作为参考集的Malmquist指数
2.3 固定时期参比(单一TFP指数): Fixed Malmquist，由Berg等(1992)提出的一种以某一固定时期的前沿作参比的Malmquist指数
2.4 全局参比(单一TFP指数): Global Malmquist，Pastor & Lovell (2005)提出的一种以所有时期合并参比的Malmquist指数
2.5 序列前沿交叉参比(两个TFP指数的几何平均): Tulkens & Eeckaut (1995)提出的一种参比序列前沿(Sequential Frontier)的Malmquist指数
2.7 窗口前沿交叉参比(两个TFP指数的几何平均)：Thore, et al., 1994； Asmild, et al., 2004提出的一种窗口前沿交叉参比的Malmquist指数
2.9 窗口前沿固定参比(单一TFP指数)：由Asmild, et al., 2004提出的一种以某一固定时期的窗口前沿作参比的Malmquist指数
4 文献中常见的Malmquist指数的分解方法 (以径向模型为例)
4.2 FGNZ分解方法: MI = PEC * SEC * TC
在面板数据中必须有一列数据来表示数据的时间。MaxDEA对面板数据的排列顺序没有特殊要求。面板数据可以按照DMU的名称排序，也可以按照时间排序，也可以不排序。
表示时间的变量（"Period"变量）必须是整数，可以是连续的整数序列，例如
1, 2, 3……
2001, 2002, 2003……
可以是非连续的整数序列，例如
1, 2, 5, 8……
2001, 2005, 2009……
200101, 200102, 200302……
在Malmquist模型中允许使用非平衡面板数据，即允许部分时期的数据缺失（整条数据缺失）。缺失数据对应的时期，其分析结果也相应缺失。
在"定义数据"时，必须设置面板数据的"Period"变量。
表1 面板数据格式示例（平衡面板）
|
年份 |
决策单元 |
资本 |
人力 |
产出 |
|
1 |
A |
4323 |
875 |
93608 |
|
1 |
B |
2295 |
469 |
225559 |
|
1 |
C |
6379 |
1286 |
327068 |
|
2 |
A |
6644 |
1339 |
201354 |
|
2 |
B |
1436 |
297 |
188926 |
|
2 |
C |
6281 |
1266 |
413738 |
|
3 |
A |
7459 |
1502 |
114022 |
|
3 |
B |
4464 |
903 |
212444 |
|
3 |
C |
4524 |
915 |
462677 |
表2 面板数据格式示例（非平衡面板）
|
年份 |
决策单元 |
资本 |
人力 |
产出 |
|
1 |
A |
4323 |
875 |
93608 |
|
1 |
B |
2295 |
469 |
225559 |
|
1 |
C |
6379 |
1286 |
327068 |
|
2 |
A |
6644 |
1339 |
201354 |
|
2 |
B |
1436 |
297 |
188926 |
|
3 |
A |
7459 |
1502 |
114022 |
|
3 |
B |
4464 |
903 |
212444 |
|
3 |
C |
4524 |
915 |
462677 |
在结果表“Productivity Index”中，提供了MI(Malmquist Index)、EC(Efficiency Change)、TC(Technological Change)及计算这些指数所涉及的效率值。
由于Malmquist指数是对两个时期生产率的比较，因此计算过程涉及到两个时期的数据和两个时期的前沿。MaxDEA中将后一个时期表示为t，前一个时期表示为t-1。x表示投入，y表示产出。
MaxDEA在结果中不仅提供Malmquist指数及其分解，而且提供了计算Malquist指数所涉及的各个效率值。
符号解释：
Score_t(..., ...)表示该效率值是参比时期t的前沿得出的
Score_t-1(..., ...)表示该效率值是参比时期t-1的前沿得出的
Score_t-1Ut(..., ...)表示该效率值是参比时期t-1和时期t两期的前沿合并而成的前沿得出的
Score_f(..., ...)表示该效率值是参比时期f(由用户指定个一个固定时期)的前沿得出的
Score_g(..., ...)表示该效率值是参比所有时期共同构建的前沿(全局前沿)得出的
(..., ...)括号内表示被评价DMU的数据来自哪个时期，例如(x_t, y_t-1) 表示投入数据来自时期t，产出数据来自时期t-1。
例如Score_t(x_t-1, y_t-1) 表示参比时期t的前沿(以时期t的数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值。
在MaxDEA的分析结果中，有一列"Period(t)"用于识别各项结果指标的具体含义，例如
|
DMU |
Period(t) |
Score_t(x_t, y_t) |
Score_t-1(x_t-1, y_t-1) |
... |
... |
|
A |
2009 |
0.888888 |
0.777777 |
... |
... |
|
A |
2010 |
0.999999 |
0.888888 |
... |
... |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
以上结果表示A在2008年的效率值为0.777777，在2009年的效率值为0.888888，在2010年的效率值为0.999999。
注意2009年的Score_t(x_t, y_t)与2010年的Score_t-1(x_t-1, y_t-1)的含义是相同的。
除了Malmquist指数及其分解成分，MaxDEA还提供了计算Malmquist指数所涉及的所有DEA模型的详细结果，每个模型的结果保存在一个单独的表中。例如表“Score_t (x_t, y_t)”提供了计算Score_t (x_t, y_t)的DEA模型的详细结果，包括参考标杆、松弛变量、目标值等。注意此类详细结果只在包络模型中提供。
此类Malmquist指数的主要特点：最常用的一种Malmquist指数类型； VRS模型存在无可行解的问题； 不可累乘，即 MI(t-1, t) * MI(t, t+1) ≠ MI(t-1, t+1)。
(a) Score_t(x_t, y_t) 表示参比时期t的前沿(以时期t的数据作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值，即时期t本期参比的效率值
如果t = 2010, 则Score_t(x_t, y_t) 表示2010的数据通过本期参比得出的效率值，即2010本期参比的效率值
(b) Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示参比时期t-1的前沿(以时期t-1的数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值，即时期t-1本期的效率值
如果t = 2010, Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示2009的数据通过本期参比得出的效率值，即2009本期参比的效率值
(c) Score_t-1(x_t, y_t) 表示参比时期t-1的前沿(以时期t-1的数据作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值，即时期t的数据跨期参比得出的效率值
如果t = 2010, Score_t-1(x_t, y_t) 表示2010的数据通过跨期参比得出的效率值(参比2009)，即2010跨期参比的效率值
(d) Score_t(x_t-1, y_t-1) 表示参比时期t的前沿(以时期t的数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值，即时期t-1的数据跨期参比得出的效率值
如果t = 2010, Score_t(x_t-1, y_t-1) 表示2009的数据通过跨期参比得出的效率值(参比2010)，即2009跨期参比的效率值
(e) Score_t-1(x_t, y_t-1) 表示参比时期t-1的前沿(以时期t-1的数据作为参考集)，以混合数据[x(t), y(t-1)]作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t-1(x_t, y_t-1) 表示混合数据[x(2010), y(2009)]通过参比2009的前沿得出的效率值
(f) Score_t(x_t, y_t-1) 表示参比时期t的前沿(以时期t的数据作为参考集)，以混合数据[x(t), y(t-1)]作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t(x_t, y_t-1) 表示混合数据[x(2010), y(2009)]通过参比2010的前沿得出的效率值
(1) MI(t-1, t) 表示时期t的生产率与时期t-1的生产率的比值，大于1表示生产率提高，小于1表示生产率降低
= [(c/b) * (a/d)]^0.5
= (a/b) * [(c/a) * (b/d)]^0.5
= EC(t-1, t) * TC(t-1, t)
Färe等人(1992)提出的这种计算Malmquist指数的计算方法，采用了分别以两个时期的前沿作参比，计算两个TFP指数(c/b 是参比t-1的前沿得出的TFP指数，a/d 是参比t的前沿得出的TFP指数)，然后取其几何平均值。计算涉及以上a、b、c和d四个效率成分。
在上面的计算式中，c/b是参比时期t-1的前沿计算的生产率指数，a/d是参比时期t的前沿计算的生产率指数，MI取二者的几何平均值。
MI可以分解为效率变化(EC)和技术变化(TC)，其中a/b是两个时期的技术效率之比，称为效率变化(EC)；[(c/a) * (b/d)]^0.5代表两个时期的前沿变化，体现技术变化(TC)。
(2) EC(t-1, t) 表示时期t的技术效率与时期t-1的技术效率的比值，大于1表示技术效率提高，小于1表示技术效率降低
= a/b
(3) TC(t-1, t) 表示时期t的前沿相对时期t-1的前沿发生的变化(技术变化或前沿变动)，大于1表示技术进步(前沿前移)，小于1表示技术退步(前沿后退)
= [(b/d) * (c/a)]^0.5
= [(c/a) / (e/f)]^0.5 * [(e/f) / (b/d)]^0.5 * (b/d)
= OBTC(t-1, t) * IBTC(t-1, t) * MATC(t-1, t)
(4) OBTC(t-1, t) 表示产出偏移技术变化(output biased technological change)，其含义为时期t与时期t-1相比，产出的变化(即y_t-1变为y_t)使技术变化的测量发生的偏移
= [(c/a) / (e/f)]^0.5
(5) IBTC(t-1, t) 表示投入偏移技术变化(input biased technological change)，其含义为时期t与时期t-1相比，投入的变化(即x_t-1变为x_t)使技术变化的测量发生的偏移
= [(e/f) / (b/d)]^0.5
(6) MATC(t-1, t) 表示技术变化幅度(magnitude of technological change)，大于1表示技术进步(前沿前移)，小于1表示技术退步(前沿后退)
使用时期t-1的数据(x_t-1, y_t-1)计算得出的TC，其含义为假定被评价DMU投入和产出保持不变，前沿变化引起的生产率的变化
与TC相比，MATC排除了由于在时期t投入和产出数值发生变化所引起的技术变化测量发生的偏移
= b/d
关于技术变化的分解 (TC = OBTC * IBTC * MATC) ，请参阅文献 Rolf Färe, Grifell-Tatjé, Grosskopf, and Knox Lovell (1997)。 注意文献中使用t和t+1表示相邻的两个时期，而MaxDEA中使用t-1和t表示两个时期，阅读公式时请注意转换。
文献中提供的是对上面TC的计算公式 "(3) TC(t-1, t) = [(b/d) * (c/a)]^0.5" 其中的 (c/a) 部分的进一步分解。因为(b/d)部分本身就是MATC，无需分解。
此类Malmquist指数的主要特点：避免了VRS模型无可行解的问题； 不可累乘，即 MI(t-1, t) * MI(t, t+1) ≠ MI(t-1, t+1)。
(a) Score_t(x_t, y_t) 表示参比时期t的前沿(以时期t的数据作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值，即时期t本期参比的效率值
如果t = 2010, 则Score_t(x_t, y_t) 表示2010的数据通过本期参比得出的效率值，即2010本期参比的效率值
(b) Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示参比时期t-1的前沿(以时期t-1的数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值，即时期t-1本期的效率值
如果t = 2010, Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示2009的数据通过本期参比得出的效率值，即2009本期参比的效率值
(g) Score_t-1Ut(x_t, y_t) 表示参比合并前沿(以t-1和t两个时期合并数据作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t-1Ut(x_t, y_t) 表示2010的数据通过参比合并前沿得出的效率值
(h) Score_t-1Ut(x_t-1, y_t-1) 表示参比合并前沿(以t-1和t两个时期合并数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t-1Ut(x_t-1, y_t-1) 表示2009的数据通过参比合并前沿得出的效率值
(1) MI(t-1, t) = 表示时期t的生产率与时期t-1的生产率的比值，大于1表示生产率提高，小于1表示生产率降低
= g/h
= (a/b) * [(g/a) / (h/b)]
= EC(t-1, t) * TC(t-1, t)
相邻两年合并参比Malquist指数的计算只需要两个效率值，即g/h。但指数的分解涉及到效率值a和b。
(2) EC(t-1, t) 表示时期t的技术效率与时期t-1的技术效率的比值，大于1表示技术效率提高，小于1表示技术效率降低
= a/b
相邻两年合并参比Malquist指数分解得出的EC 和 上面的相邻前沿交叉参比Malquist指数分解得出的EC，完全相同。
(3) TC(t-1, t) = 表示时期t的前沿相对时期t-1的前沿发生的变化(技术变化或前沿变动)，大于1表示技术进步(前沿前移)，小于1表示技术退步(前沿后退)
= (g/a) / (h/b)
时期t的前沿与合并前沿之间的距离可由 g/a 来表示； 时期t-1的前沿与合并前沿之间的距离可由 h/b 来表示； 那么前沿t与前沿t-1之间的距离可由两个比值之比来表示
此类Malmquist指数的主要特点：VRS模型存在无可行解的问题； 可累乘，即 MI(t-1, t) * MI(t, t+1) = MI(t-1, t+1)。
(a) Score_t(x_t, y_t) 表示参比时期t的前沿(以时期t的数据作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值，即时期t本期参比的效率值
如果t = 2010, 则Score_t(x_t, y_t) 表示2010的数据通过本期参比得出的效率值，即2010本期参比的效率值
(b) Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示参比时期t-1的前沿(以时期t-1的数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值，即时期t-1本期的效率值
如果t = 2010, Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示2009的数据通过本期参比得出的效率值，即2009本期参比的效率值
(i) Score_f(x_t, y_t) 表示参比固定时期f的前沿(以时期f的数据作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_f(x_t, y_t) 表示2010的数据通过参比固定时期f的前沿得出的效率值
(j) Score_f(x_t-1, y_t-1) 表示参比固定时期f的前沿(以时期f的数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_f(x_t-1, y_t-1) 表示2009的数据通过参比固定时期f的前沿得出的效率值
(1) MI(t-1, t) = 表示时期t的生产率与时期t-1的生产率的比值，大于1表示生产率提高，小于1表示生产率降低
= i/j
= (a/b) * [(i/a) / (j/b)]
= EC(t-1, t) * TC(t-1, t)
固定参比Malquist指数的计算只需要两个效率值，即i/j。但指数的分解涉及到效率值a和b。
(2) EC(t-1, t) = 表示时期t的技术效率与时期t-1的技术效率的比值，大于1表示技术效率提高，小于1表示技术效率降低
= a/b
固定参比Malquist指数分解得出的EC 和 上面的两种Malquist指数分解得出的EC，完全相同。
(3) TC(t-1, t) = 表示时期t的前沿相对时期t-1的前沿发生的变化(技术变化或前沿变动)，大于1表示技术进步(前沿前移)，小于1表示技术退步(前沿后退)
= (i/a) / (j/b)
时期t的前沿与固定时期f的前沿之间的距离可由 i/a 来表示； 时期t-1的前沿与固定时期f的前沿之间的距离可由 j/b 来表示； 那么前沿t与前沿t-1之间的距离可由两个比值之比来表示
此类Malmquist指数的主要特点：避免了VRS模型无可行解的问题； 可累乘，即 MI(t-1, t) * MI(t, t+1) = MI(t-1, t+1)。
(a) Score_t(x_t, y_t) 表示参比时期t的前沿(以时期t的数据作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值，即时期t本期参比的效率值
如果t = 2010, 则Score_t(x_t, y_t) 表示2010的数据通过本期参比得出的效率值，即2010本期参比的效率值
(b) Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示参比时期t-1的前沿(以时期t-1的数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值，即时期t-1本期的效率值
如果t = 2010, Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示2009的数据通过本期参比得出的效率值，即2009本期参比的效率值
(k) Score_g(x_t, y_t) 表示参比全局前沿(以所有时期的数据作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, 表示2010的数据通过参比全局前沿得出的效率值
(l) Score_g(x_t-1, y_t-1) 表示参比全局前沿(以所有时期的数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, 表示2009的数据通过参比全局前沿得出的效率值
(1) MI(t-1, t) = 表示时期t的生产率与时期t-1的生产率的比值，大于1表示生产率提高，小于1表示生产率降低
= k/l
= (a/b) * [(k/a) / (l/b)]
= EC(t-1, t) * TC(t-1, t)
全局参比Malquist指数的计算只需要两个效率值，即k/l。但指数的分解涉及到效率值a和b。
(2) EC(t-1, t) = 表示时期t的技术效率与时期t-1的技术效率的比值，大于1表示技术效率提高，小于1表示技术效率降低
= a/b
全局参比Malquist指数分解得出的EC 和 上面三种Malquist指数分解得出的EC，完全相同。
(3) TC(t-1, t) = 表示时期t的前沿相对时期t-1的前沿发生的变化(技术变化或前沿变动)，大于1表示技术进步(前沿前移)，小于1表示技术退步(前沿后退)
= (k/a) / (l/b)
时期t的前沿与全局前沿之间的距离可由 k/a 来表示； 时期t-1的前沿与全局前沿之间的距离可由 l/b 来表示； 那么前沿t与前沿t-1之间的距离可由两个比值之比来表示
此类Mamquist指数的计算与“2.1 相邻两期交叉参比(两个TFP指数的几何平均)”计算方法类似，区别在于此处参比的是“序列前沿”。
此类Mamquist指数的主要特点：技术变化(TC)总是大于或等于1，即不会得出技术退步的结果； VRS模型存在无可行解的问题； 不可累乘，即 MI(t-1, t) * MI(t, t+1) ≠ MI(t-1, t+1)。
序列Malmquist模型的一个特点是不会得出技术退步的结果。但是如果在序列Malmquist模型中采用至强有效前沿最近距离，则可能会出现技术退步的异常结果（原因分析详见成刚著《数据包络分析方法与MaxDEA软件》，知识产权出版社）。
在下面的公式中，使用与2.1中相同的公式编号，但需注意其实际含义的区别，即普通前沿与序列前沿的区别。
(a) Score_t(x_t, y_t) 表示参比时期t的序列前沿(以时期t及之前所有时期的数据作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, 则Score_t(x_t, y_t) 表示2010的数据通过参比本期的序列前沿得出的效率值
(b) Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示参比时期t-1的序列前沿(以时期t-1及之前所有时期的数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示2009的数据通过参比本期的序列前沿得出的效率值
(c) Score_t-1(x_t, y_t) 表示参比时期t-1的序列前沿(以时期t-1及之前所有时期的数据作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t-1(x_t, y_t) 表示2010的数据通过跨期参比得出的效率值(参比2009的序列前沿)
(d) Score_t(x_t-1, y_t-1) 表示参比时期t的序列前沿(以时期t及之前所有时期的数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t(x_t-1, y_t-1) 表示2009的数据通过跨期参比得出的效率值(参比2010的序列前沿)
(e) Score_t-1(x_t, y_t-1) 表示参比时期t-1的序列前沿(以时期t-1及之前所有时期的数据作为参考集)，以混合数据[x(t), y(t-1)]作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t-1(x_t, y_t-1) 表示混合数据[x(2010), y(2009)]通过参比2009的序列前沿得出的效率值
(f) Score_t(x_t, y_t-1) 表示参比时期t的序列前沿(以时期t及之前所有时期的数据作为参考集)，以混合数据[x(t), y(t-1)]作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t(x_t, y_t-1) 表示混合数据[x(2010), y(2009)]通过参比2010的序列前沿得出的效率值
(1) MI(t-1, t) 表示时期t的生产率与时期t-1的生产率的比值，大于1表示生产率提高，小于1表示生产率降低
= [(c/b) * (a/d)]^0.5
= (a/b) * [(c/a) * (b/d)]^0.5
= EC(t-1, t) * TC(t-1, t)
Färe等人(1992)提出的这种计算Malmquist指数的计算方法，采用了分别以两个时期的序列前沿作参比，计算两个TFP指数(c/b 是参比t-1的序列前沿得出的TFP指数，a/d 是参比t的序列前沿得出的TFP指数)，然后取其几何平均值。计算涉及以上a、b、c和d四个效率成分。
在上面的计算式中，c/b是参比时期t-1的序列前沿计算的生产率指数，a/d是参比时期t的序列前沿计算的生产率指数，MI取二者的几何平均值。
MI可以分解为效率变化(EC)和技术变化(TC)，其中a/b是两个时期的技术效率之比，称为效率变化(EC)；[(c/a) * (b/d)]^0.5代表两个时期的序列前沿变化，体现技术变化(TC)。
(2) EC(t-1, t) 表示时期t的技术效率与时期t-1的技术效率的比值，大于1表示技术效率提高，小于1表示技术效率降低
= a/b
(3) TC(t-1, t) 表示时期t的序列前沿相对时期t-1的序列前沿发生的变化(技术变化或序列前沿变动)，总是大于或等于1，大于1表示技术进步(序列前沿前移)，等于1表示技术不变
= [(b/d) * (c/a)]^0.5
= [(c/a) / (e/f)]^0.5 * [(e/f) / (b/d)]^0.5 * (b/d)
= OBTC(t-1, t) * IBTC(t-1, t) * MATC(t-1, t)
(4) OBTC(t-1, t) 表示产出偏移技术变化(output biased technological change)，其含义为时期t与时期t-1相比，产出的变化(即y_t-1变为y_t)使技术变化的测量发生的偏移
= [(c/a) / (e/f)]^0.5
(5) IBTC(t-1, t) 表示投入偏移技术变化(input biased technological change)，其含义为时期t与时期t-1相比，投入的变化(即x_t-1变为x_t)使技术变化的测量发生的偏移
= [(e/f) / (b/d)]^0.5
(6) MATC(t-1, t) 表示技术变化幅度(magnitude of technological change)，总是大于或等于1，大于1表示技术进步(序列前沿前移)，等于1表示技术不变
使用时期t-1的数据(x_t-1, y_t-1)计算得出的TC，其含义为假定被评价DMU投入和产出保持不变，序列前沿变化引起的生产率的变化
与TC相比，MATC排除了由于在时期t投入和产出数值发生变化所引起的技术变化测量发生的偏移
= b/d
技术变化的分解 (TC = OBTC * IBTC * MATC)，与“2.1 相邻时期交叉参比(两个TFP指数的几何平均)”的计算方法相同。
此类Mamquist指数的计算与“2.2 相邻两期合并参比(单一TFP指数)”计算方法类似，区别在于此处参比的是“序列前沿”。 由于时期t的序列前沿包含了时期t-1的序列前沿，因此两期的合并序列前沿与时期t的序列前沿等价。
此类Mamquist指数的主要特点：技术变化(TC)总是大于或等于1，即不会得出技术退步的结果； 避免了VRS模型无可行解的问题； 不可累乘，即 MI(t-1, t) * MI(t, t+1) ≠ MI(t-1, t+1)。
序列Malmquist模型的一个特点是不会得出技术退步的结果。但是如果在序列Malmquist模型中采用至强有效前沿最近距离，则可能会出现技术退步的异常结果（原因分析详见成刚著《数据包络分析方法与MaxDEA软件》，知识产权出版社）。
在下面的公式中，使用与2.2中相同的公式编号，但需注意其实际含义的区别，即普通前沿与序列前沿的区别。
(a) Score_t(x_t, y_t) 表示参比时期t的序列前沿(以时期t及之前所有时期的数据作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, 则Score_t(x_t, y_t) 表示2010的数据通过参比本期的序列前沿得出的效率值
(b) Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示参比时期t-1的序列前沿(以时期t-1及之前所有时期的数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示2009的数据通过参比本期的序列前沿得出的效率值
(g) Score_t-1Ut(x_t, y_t) 表示参比t-1和t两期的合并序列前沿(等价于时期t的序列前沿，即以时期t及之前所有时期的数据作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t-1Ut(x_t, y_t) 表示2010的数据通过参比2009和2010的合并序列前沿(等价于2010的序列前沿)得出的效率值
注意由于t-1和t两期的合并序列前沿等价于时期t的序列前沿，因此 Score_t-1Ut(x_t, y_t) = Score_t(x_t, y_t)，即 g = a
(h) Score_t-1Ut(x_t-1, y_t-1) 表示参比t-1和t两期的合并序列前沿(等价于时期t的序列前沿，即以时期t及之前所有时期的数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t-1Ut(x_t-1, y_t-1) 表示2009的数据通过参比2009和2010的合并序列前沿(等价于2010的序列前沿)得出的效率值
(1) MI(t-1, t) = 表示时期t的生产率与时期t-1的生产率的比值，大于1表示生产率提高，小于1表示生产率降低
= g/h
= (a/b) * [(g/a) / (h/b)]
= EC(t-1, t) * TC(t-1, t)
相邻两年合并参比Malquist指数的计算只需要两个效率值，即g/h。但指数的分解涉及到效率值a和b。
(2) EC(t-1, t) 表示时期t的技术效率与时期t-1的技术效率的比值，大于1表示技术效率提高，小于1表示技术效率降低
= a/b
(3) TC(t-1, t) = 表示时期t的序列前沿相对时期t-1的序列前沿发生的变化(技术变化或序列前沿变动)，总是大于或等于1，大于1表示技术进步(序列前沿前移)，等于1表示技术不变
= (g/a) / (h/b)
= b/h
此类Mamquist指数的计算与“2.1 相邻两期交叉参比(两个TFP指数的几何平均)”计算方法类似，区别在于此处参比的是“窗口前沿”。
此类Mamquist指数的主要特点：VRS模型可能存在无可行解的问题，但通过调整窗口的宽度及偏移量可以使t-1期的窗口包含t期且t期的窗口包含t-1期，这样即可避免VRS模型的无可行解问题（例如将窗口宽度设置为3，偏移量设置为1，则t-1期的窗口包含t-2，t-1和t三个时期，t期的窗口包含t-1，t和t+1三个时期。符合t-1期的窗口包含t期且t期的窗口包含t-1期这一条件）； 不可累乘，即 MI(t-1, t) * MI(t, t+1) ≠ MI(t-1, t+1)。
在下面的公式中，使用与2.1中相同的公式编号，但需注意其实际含义的区别，即普通前沿与窗口前沿的区别。
(a) Score_t(x_t, y_t) 表示参比时期t的窗口前沿(以时期t及之前所有时期的数据作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, 则Score_t(x_t, y_t) 表示2010的数据通过参比本期的窗口前沿得出的效率值
(b) Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示参比时期t-1的窗口前沿(以时期t-1及之前所有时期的数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示2009的数据通过参比本期的窗口前沿得出的效率值
(c) Score_t-1(x_t, y_t) 表示参比时期t-1的窗口前沿(以时期t-1及之前所有时期的数据作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t-1(x_t, y_t) 表示2010的数据通过跨期参比得出的效率值(参比2009的窗口前沿)
(d) Score_t(x_t-1, y_t-1) 表示参比时期t的窗口前沿(以时期t及之前所有时期的数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t(x_t-1, y_t-1) 表示2009的数据通过跨期参比得出的效率值(参比2010的窗口前沿)
(e) Score_t-1(x_t, y_t-1) 表示参比时期t-1的窗口前沿(以时期t-1及之前所有时期的数据作为参考集)，以混合数据[x(t), y(t-1)]作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t-1(x_t, y_t-1) 表示混合数据[x(2010), y(2009)]通过参比2009的窗口前沿得出的效率值
(f) Score_t(x_t, y_t-1) 表示参比时期t的窗口前沿(以时期t及之前所有时期的数据作为参考集)，以混合数据[x(t), y(t-1)]作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t(x_t, y_t-1) 表示混合数据[x(2010), y(2009)]通过参比2010的窗口前沿得出的效率值
(1) MI(t-1, t) 表示时期t的生产率与时期t-1的生产率的比值，大于1表示生产率提高，小于1表示生产率降低
= [(c/b) * (a/d)]^0.5
= (a/b) * [(c/a) * (b/d)]^0.5
= EC(t-1, t) * TC(t-1, t)
Färe等人(1992)提出的这种计算Malmquist指数的计算方法，采用了分别以两个时期的窗口前沿作参比，计算两个TFP指数(c/b 是参比t-1的窗口前沿得出的TFP指数，a/d 是参比t的窗口前沿得出的TFP指数)，然后取其几何平均值。计算涉及以上a、b、c和d四个效率成分。
在上面的计算式中，c/b是参比时期t-1的窗口前沿计算的生产率指数，a/d是参比时期t的窗口前沿计算的生产率指数，MI取二者的几何平均值。
MI可以分解为效率变化(EC)和技术变化(TC)，其中a/b是两个时期的技术效率之比，称为效率变化(EC)；[(c/a) * (b/d)]^0.5代表两个时期的窗口前沿变化，体现技术变化(TC)。
(2) EC(t-1, t) 表示时期t的技术效率与时期t-1的技术效率的比值，大于1表示技术效率提高，小于1表示技术效率降低
= a/b
(3) TC(t-1, t) 表示时期t的窗口前沿相对时期t-1的窗口前沿发生的变化(技术变化或窗口前沿变动)，总是大于或等于1，大于1表示技术进步(窗口前沿前移)，等于1表示技术不变
= [(b/d) * (c/a)]^0.5
= [(c/a) / (e/f)]^0.5 * [(e/f) / (b/d)]^0.5 * (b/d)
= OBTC(t-1, t) * IBTC(t-1, t) * MATC(t-1, t)
(4) OBTC(t-1, t) 表示产出偏移技术变化(output biased technological change)，其含义为时期t与时期t-1相比，产出的变化(即y_t-1变为y_t)使技术变化的测量发生的偏移
= [(c/a) / (e/f)]^0.5
(5) IBTC(t-1, t) 表示投入偏移技术变化(input biased technological change)，其含义为时期t与时期t-1相比，投入的变化(即x_t-1变为x_t)使技术变化的测量发生的偏移
= [(e/f) / (b/d)]^0.5
(6) MATC(t-1, t) 表示技术变化幅度(magnitude of technological change)，总是大于或等于1，大于1表示技术进步(窗口前沿前移)，等于1表示技术不变
使用时期t-1的数据(x_t-1, y_t-1)计算得出的TC，其含义为假定被评价DMU投入和产出保持不变，窗口前沿变化引起的生产率的变化
与TC相比，MATC排除了由于在时期t投入和产出数值发生变化所引起的技术变化测量发生的偏移
= b/d
技术变化的分解 (TC = OBTC * IBTC * MATC)，与“2.1 相邻时期交叉参比(两个TFP指数的几何平均)”的计算方法相同。
此类Mamquist指数的计算与“2.2 相邻两期合并参比(单一TFP指数)”计算方法类似，区别在于此处参比的是“窗口前沿”。
此类Malmquist指数的主要特点：避免了VRS模型无可行解的问题； 不可累乘，即 MI(t-1, t) * MI(t, t+1) ≠ MI(t-1, t+1)。
在下面的公式中，使用与2.2中相同的公式编号，但需注意其实际含义的区别，即普通前沿与窗口前沿的区别。
(a) Score_t(x_t, y_t) 表示参比时期t的窗口前沿(以时期t的窗口数据作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, 则Score_t(x_t, y_t) 表示2010的数据通过参比本期的窗口前沿得出的效率值
(b) Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示参比时期t-1的窗口前沿(以时期t-1的窗口数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示2009的数据通过参比本期的窗口前沿得出的效率值
(g) Score_t-1Ut(x_t, y_t) 表示参比t-1和t两期的合并窗口前沿(即以时期t和t-1两个时期的窗口数据的并集作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t-1Ut(x_t, y_t) 表示2010的数据通过参比2009和2010的合并窗口前沿得出的效率值
注意由于t-1和t两期的合并窗口前沿等价于时期t的窗口前沿，因此 Score_t-1Ut(x_t, y_t) = Score_t(x_t, y_t)，即 g = a
(h) Score_t-1Ut(x_t-1, y_t-1) 表示参比t-1和t两期的合并窗口前沿(即以时期t和t-1两个时期的窗口数据的并集作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_t-1Ut(x_t-1, y_t-1) 表示2009的数据通过参比2009和2010的合并窗口前沿得出的效率值
(1) MI(t-1, t) = 表示时期t的生产率与时期t-1的生产率的比值，大于1表示生产率提高，小于1表示生产率降低
= g/h
= (a/b) * [(g/a) / (h/b)]
= EC(t-1, t) * TC(t-1, t)
相邻两年合并参比Malquist指数的计算只需要两个效率值，即g/h。但指数的分解涉及到效率值a和b。
(2) EC(t-1, t) 表示时期t的技术效率与时期t-1的技术效率的比值，大于1表示技术效率提高，小于1表示技术效率降低
= a/b
(3) TC(t-1, t) = 表示时期t的窗口前沿相对时期t-1的窗口前沿发生的变化(技术变化或窗口前沿变动)，总是大于或等于1，大于1表示技术进步(窗口前沿前移)，等于1表示技术不变
= (g/a) / (h/b)
时期t的窗口前沿与合并窗口前沿之间的距离可由 g/a 来表示； 时期t-1的窗口前沿与合并窗口前沿之间的距离可由 h/b 来表示； 那么窗口前沿t与窗口前沿t-1之间的距离可由两个比值之比来表示
此类Mamquist指数的计算与“2.3 固定时期参比(单一TFP指数)”计算方法类似，区别在于此处参比的是“窗口前沿”。
此类Malmquist指数的主要特点：VRS模型存在无可行解的问题； 可累乘，即 MI(t-1, t) * MI(t, t+1) = MI(t-1, t+1)。
在下面的公式中，使用与2.3中相同的公式编号，但需注意其实际含义的区别，即普通前沿与窗口前沿的区别。
(a) Score_t(x_t, y_t) 表示参比时期t的窗口前沿(以时期t的窗口数据作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值，即时期t本期参比的效率值
如果t = 2010, 则Score_t(x_t, y_t) 表示2010的数据通过本期窗口参比得出的效率值
(b) Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示参比时期t-1的窗口前沿(以时期t-1的窗口数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值，即时期t-1本期的效率值
如果t = 2010, Score_t-1(x_t-1, y_t-1) 表示2009的数据通过本期窗口参比得出的效率值
(i) Score_f(x_t, y_t) 表示参比固定时期f的窗口前沿(以时期f的窗口数据作为参考集)，以时期t的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_f(x_t, y_t) 表示2010的数据通过参比固定时期f的窗口前沿得出的效率值
(j) Score_f(x_t-1, y_t-1) 表示参比固定时期f的窗口前沿(以时期f的窗口数据作为参考集)，以时期t-1的数据作为被评价集得出的效率值
如果t = 2010, Score_f(x_t-1, y_t-1) 表示2009的数据通过参比固定时期f的窗口前沿得出的效率值
(1) MI(t-1, t) = 表示时期t的生产率与时期t-1的生产率的比值，大于1表示生产率提高，小于1表示生产率降低
= i/j
= (a/b) * [(i/a) / (j/b)]
= EC(t-1, t) * TC(t-1, t)
固定参比Malquist指数的计算只需要两个效率值，即i/j。但指数的分解涉及到效率值a和b。
(2) EC(t-1, t) = 表示时期t的技术效率与时期t-1的技术效率的比值，大于1表示技术效率提高，小于1表示技术效率降低
= a/b
固定参比Malquist指数分解得出的EC 和 上面的两种Malquist指数分解得出的EC，完全相同。
(3) TC(t-1, t) = 表示时期t的窗口前沿相对时期t-1的窗口前沿发生的变化(技术变化或窗口前沿变动)，大于1表示技术进步(窗口前沿前移)，小于1表示技术退步(窗口前沿后退)
= (i/a) / (j/b)
时期t的窗口前沿与固定时期f的窗口前沿之间的距离可由 i/a 来表示； 时期t-1的窗口前沿与固定时期f的窗口前沿之间的距离可由 j/b 来表示； 那么窗口前沿t与窗口前沿t-1之间的距离可由两个比值之比来表示
在MaxDEA的分析结果中，提供了Malmquist指数(MI)及其分解效率变化(efficiency change, EC)和技术变化(technological change, TC)。
如果RTS选择的是CRS,则结果中的M指数及其分解为 MI_CRS = EC_CRS * TC_CRS
如果RTS选择的是VRS,则结果中的M指数及其分解为 MI_VRS = EC_VRS * TC_VRS
如果RTS选择的是“Scale Efficiency or Scale Effect (CRS Score / VRS Score)”, 则在结果中不仅提供以上CRS和VRS M指数及其分解，并且提供规模效率(Scale Effect):
Scale_Effect_on_EC (SEEC) = EC_CRS / EC_VRS
Scale_Effect_on_TC (SETC) = TC_CRS / TC_VRS
Scale_Effect_on_MI (SEMI) = MI_CRS / MI_VRS
SEMI = SEEC* SETC
MI_CRS = MI_VRS * SEMI
MI_CRS = MI_VRS * SEEC* SETC
如果Distance选择的是径向模型(Radial), 则EC的规模效应(Scale_Effect_on_EC)就是通常所说的“规模效率变化”(Scale Efficiency Change,SEC)。换句话说，如果你要得到规模效率变化，必须选择径向模型。
从8.9版本开始，规模报酬选择 “6）效率或TFP指数分解”，软件会直接输出以下4种分解结果，每种分解方法分别在一个单独的表中。如果你使用的是8.8或更低版本，请升级至最新版本（软件内菜单栏点“检查更新”。
Färe, et al. (1992): “By allowing for inefficiencies, the productivity index can be decomposed into two components, one measuring change in efficiency and the other measuring technical change or equivalently change in the frontier technology.”
FGLR分解方法是将CRS Malmquist模型得出的M指数分解为EC和TC之积，即
MI =EC*TC
Färe R., et al. (1994): “We use an enhanced decomposition of the Malmquist index developed in Rolf Fare et al. (1994).This enhanced decomposition takes the efficiency-change component calculated relative to the constant-returnsto- scale technology and decomposes it into a pure efficiency-change component (calculated relative to the variable-returns technologies) and a residual scale component which captures changes in the deviation between the variable-returns and constant returns- to-scale technology.”
FGNZ分解方法是在FGLR分解的基础上，将EC进一步分解为PEC(Pure efficiency change or pure technical efficiency change)和SEC(Scale efficiency change)
MI = EC * TC = PEC * SEC * TC
PEC: 纯技术效率变化
SEC: 规模效率变化
使用MaxDEA软件中的结果，以上分解表示为
MI_CRS(t-1,t) = EC_CRS(t-1,t) * TC_CRS(t-1,t) = EC_VRS(t-1,t) * Scale_Effect_on_EC(t-1,t) * TC_CRS(t-1,t)
Ray & Desli (1997): “This decomposition of the Malmquist productivity index is quite different from the extended decomposition performed by FGNZ. The only factor which is identical is PEFFCH (PEC). As for the technical change factor, ours is a geometric mean of the ratios of VRS distance functions whereas FGNZ measure technical change by the geometric mean of the ratios of CRS distance functions. Also, the other factor relating to scale efficiency change differs in the two decompositions. FGNZ's scale change factor (SCH) is simply the ratio of the scale efficiencies of the bundles using own-period VRS technologies as the benchmark. Our measure, SCH(v) is a geometric mean of the ratios of scale efficiencies of the two bundles using in turn the VRS technologies from the two periods as the benchmark.”
Ray & Desli分解方法为
MI = PEC * PTC * SCH
使用MaxDEA软件中的结果，此分解方法表示为
MI_CRS(t-1,t) = EC_VRS(t-1,t) * TC_VRS(t-1,t) * Scale_Effect_on_MI(t-1,t)
Zofio (2007) 提供了一种更为彻底的分解方法，其分解方法可视为对以上分解方法的进一步分解，即
MI = EC * TC
= PEC * SEC * PTC * STC
使用MaxDEA软件中的结果，此分解方法表示为
MI_CRS(t-1,t) = EC_CRS(t-1,t) * TC_CRS(t-1,t)
= EC_VRS(t-1,t) * Scale_Effect_on_EC(t-1,t) * TC_VRS(t-1,t) * Scale_Effect_on_TC(t-1,t)
MaxDEA软件采用Maniadakis & Thanassoulis (2004) 提出的成本Malmquist指数计算方法，并将其推广到收益Malmquist、利润Malmquist和收益成本比Malmquist指数。
注意在成本Malmquist等模型的结果中，仍然使用与普通Malmquist模型相同的名称，例如MI、EC、TC等。
成本Malmquist指数的分解方法如下：
• MI(成本) = EC(成本) * TC(成本)
如果要进行进一步的分解，则需要运行普通的Malmquist指数模型，然后进行以下计算：
• Allocative Efficiency Change(配置效率变化，AEC) = EC(成本) / EC(普通)
• Price Effect = TC(成本) / TC(普通)
• MMI(成本) = EC(普通) * AEC * TC(普通) * Price Effect
Malmquist指数采用两个指标的比值来反映TFP的变化，而Chambers, et al (1996)所提出的Luenberger指数则采用两个指标之差来反映TFP的变化。两类指数的分解方法如下：
Malmquist指数：MI = EC * TC, MI等于1表示生产率无变化，大于1表示生产率提高，小于1表示生产率降低。
Luenberger指数：LI = EC + TC, LI等于0表示生产率无变化，大于0表示生产率提高，小于0表示生产率降低。
在MaxDEA软件中，没有提供与Malmquist模型并列的Luenberger模型。如果你需要Luenberger指数，将Malmquist模型下面的选项"如何计算TFP变化", 选择"加法型，算术平均(Luenberger指数) MI = EC + TC", 则软件会计算Luenberger指数。注意在结果中，Luenberger指数然后显示为"MI_(t-1, t)"。
注意：在某些模型中（例如距离类型为加权加性模型－简单加权），结果给出的是无效率值，这种情况下只能采用Luenberger指数，并且得出的Luenberger指数小于0表示生产率提高，大于0表示生产率降低。这种情况软件会给出提醒消息。
Chung Y. H., et al. (1997) 将方向距离函数引入Malmquist指数以处理非期望产出问题，并将其称为Malmquist–Luenberger（ML）指数。ML指数的核心是解决了非期望产出问题，因此可将ML指数推广为任何“包含非期望产出的Malmquist指数”，即 ML指数 ＝ M指数 ＋ 非期望产出。
计算ML指数，在MaxDEA软件中，
1) Distance选择“方向距离函数”；
2) 在Advanced Models(1)中勾选 “非期望产出”，并定义坏产出；
3) 在Advanced Models(2)中，选择Malmquist模型；
注意Malmquist–Luenberger指数属于Malmquist指数, 不是Luenberger指数。因此，在"如何计算TFP变化", 选择 “乘法型，几何平均 (Malmquist指数, 最常用) MI = EC * TC”
Asmild, M., Paradi, J. C., Aggarwall, V., & Schaffnit, C. (2004). Combining DEA window analysis with the Malmquist index approach in a study of the Canadian banking industry. Journal of Productivity Analysis, 21(1), 67-89.
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